常见排序算法

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常见时间复杂度之间的关系

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) < O(2n) < O(n!) < O(nn)

排序算法的稳定性

稳定性：稳定排序算法会让原本有相等键值的纪录维持相对次序。

冒泡排序

冒泡排序算法的运作如下：

  1. 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大（升序），就交换他们两个。
  2. 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后，最后的元素会是最大的数。
  3. 针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。
  4. 持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。
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    def bubble_sort(alist):
        for j in range(len(alist)-1,0,-1):
            # j表示每次遍历需要比较的次数，是逐渐减小的
            for i in range(j):
                if alist[i] > alist[i+1]:
                    alist[i], alist[i+1] = alist[i+1], alist[i]

时间复杂度

  • 最优时间复杂度：O(n) （表示遍历一次发现没有任何可以交换的元素，排序结束。）
  • 最坏时间复杂度：O(n2)
  • 稳定性：稳定

    选择排序

    选择排序算法的运作方式

    （Selection sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理如下。
  • 首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置
  • 然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾(第二个位置)。
  • 以此类推，直到所有元素均排序完毕。
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    def selection_sort(alist):
        n = len(alist)
        # 需要进行n-1次选择操作
        for i in range(n-1):
            # 记录最小位置
            min_index = i
            # 从i+1位置到末尾选择出最小数据
            for j in range(i+1, n):
                if alist[j] < alist[min_index]:
                    min_index = j
            # 如果选择出的数据不在正确位置，进行交换
            if min_index != i:
                alist[i], alist[min_index] = alist[min_index], alist[i]

时间复杂度

  • 最优时间复杂度：O(n2)(发现没有可以和第一个交换的，但不确定后面的顺序，依然得继续)
  • 最坏时间复杂度：O(n2)
  • 稳定性：不稳定（考虑升序每次选择最大的情况）

插入排序

（英语：Insertion Sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上，在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。

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def insert_sort(alist):
    # 从第二个位置，即下标为1的元素开始向前插入
    for i in range(1, len(alist)):
        # 从第i个元素开始向前比较，如果小于前一个元素，交换位置
        for j in range(i, 0, -1):
            if alist[j] < alist[j-1]:
                alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j]

时间复杂度

  • 最优时间复杂度：O(n) （升序排列，序列已经处于升序状态）
  • 最坏时间复杂度：O(n2)
  • 稳定性：稳定

快速排序

快速排序（英语：Quicksort），又称划分交换排序（partition-exchange sort）

  • 通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小
  • 然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。
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    def quick_sort(alist, start, end):
        """快速排序"""

        # 递归的退出条件
        if start >= end:
            return

        # 设定起始元素为要寻找位置的基准元素
        mid = alist[start]

        # low为序列左边的由左向右移动的游标
        low = start

        # high为序列右边的由右向左移动的游标
        high = end

        while low < high:
            # 如果low与high未重合，high指向的元素不比基准元素小，则high向左移动
            while low < high and alist[high] >= mid:
                high -= 1
            # 将high指向的元素放到low的位置上
            alist[low] = alist[high]

            # 如果low与high未重合，low指向的元素比基准元素小，则low向右移动
            while low < high and alist[low] < mid:
                low += 1
            # 将low指向的元素放到high的位置上
            alist[high] = alist[low]

        # 退出循环后，low与high重合，此时所指位置为基准元素的正确位置
        # 将基准元素放到该位置
        alist[low] = mid

        # 对基准元素左边的子序列进行快速排序
        quick_sort(alist, start, low-1)

        # 对基准元素右边的子序列进行快速排序
        quick_sort(alist, low+1, end)

时间复杂度

最优时间复杂度：O(nlogn)
最坏时间复杂度：O(n2)
稳定性：不稳定
从一开始快速排序平均需要花费O(n log n)时间的描述并不明显。但是不难观察到的是分区运算，数组的元素都会在每次循环中走访过一次，使用O(n)的时间。在使用结合（concatenation）的版本中，这项运算也是O(n)。

在最好的情况，每次我们运行一次分区，我们会把一个数列分为两个几近相等的片段。这个意思就是每次递归调用处理一半大小的数列。因此，在到达大小为一的数列前，我们只要作log n次嵌套的调用。这个意思就是调用树的深度是O(log n)。但是在同一层次结构的两个程序调用中，不会处理到原来数列的相同部分；因此，程序调用的每一层次结构总共全部仅需要O(n)的时间（每个调用有某些共同的额外耗费，但是因为在每一层次结构仅仅只有O(n)个调用，这些被归纳在O(n)系数中）。结果是这个算法仅需使用O(n log n)时间。

希尔排序

希尔排序的基本思想是：将数组列在一个表中并对列分别进行插入排序，重复这过程，不过每次用更长的列（步长更长了，列数更少了）来进行。最后整个表就只有一列了。

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def shell_sort(alist):
    n = len(alist)
    # 初始步长
    gap = n / 2
    while gap > 0:
        # 按步长进行插入排序
        for i in range(gap, n):
            j = i
            # 插入排序
            while j>=gap and alist[j-gap] > alist[j]:
                alist[j-gap], alist[j] = alist[j], alist[j-gap]
                j -= gap
        # 得到新的步长
        gap = gap / 2

时间复杂度

  • 最优时间复杂度：根据步长序列的不同而不同
  • 最坏时间复杂度：O(n2)
  • 稳定性：不稳定

归并排序

归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。

将数组分解最小之后，然后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。

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def merge_sort(alist):
    if len(alist) <= 1:
        return alist
    # 二分分解
    num = len(alist)/2
    left = merge_sort(alist[:num])
    right = merge_sort(alist[num:])
    # 合并
    return merge(left,right)

def merge(left, right):
    '''合并操作，将两个有序数组left[]和right[]合并成一个大的有序数组'''
    #left与right的下标指针
    l, r = 0, 0
    result = []
    while l<len(left) and r<len(right):
        if left[l] < right[r]:
            result.append(left[l])
            l += 1
        else:
            result.append(right[r])
            r += 1
    result += left[l:]
    result += right[r:]
    return result

时间复杂度

  • 最优时间复杂度：O(nlogn)
  • 最坏时间复杂度：O(nlogn)
  • 稳定性：稳定

二分查找

二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表

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def binary_search(alist, item):
    if len(alist) == 0:
        return False
    else:
        midpoint = len(alist)/2
        if alist[midpoint]==item:
          return True
        else:
          if item<alist[midpoint]:
            return binary_search(alist[:midpoint],item)
          else:
            return binary_search(alist[midpoint+1:],item)

时间复杂度

  • 最优时间复杂度：O(1)
  • 最坏时间复杂度：O(logn)
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